- Üyelik Tarihi
- 23 Haz 2010
- Mesajlar
- 5,705
- Aldığı Beğeniler
- 14,607
- Takım
- Galatasaray
Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı, kavramların ne anlama geldiği öğrenciye söylenmeden, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır.
Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak
Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki… Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:
Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani “değişim”i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz.
İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır.
Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.
Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır.
Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır.
Basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır.
Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür.
Bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır.
İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır.
Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.
Görseldeki İntegrali Anlamak
Görselde, “edebi” bir örnek üzerinden integral anlatılmaktadır. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.
Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen “yaşam”, integral işleminin sonucudur. Yani tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır.
Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim:
“Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.”
Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir.
Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır.
Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk.
Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz.
Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.
İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda “zaman”) başlangıcı yazılır: doğum.
Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm.
İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır.
Bu durumda, “zaman başına düşen mutluluk” hesaplanmaktadır.
Dolayısıyla “mutluluğun zamana bölümü” yazılmıştır.
İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!
Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken;
integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır.
Bu örnekteki temel nokta, “mutluluk” değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir.
Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi.
Ki bu, gerçek sorunlarla karşılaşan bilim insanlarının yaptığı ilk şeydir. Sonrasında, integrali tespit ederler ve sayısız çözüm yönteminden uygun olan birini kullanarak çözerler.
Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak
Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki… Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:
Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani “değişim”i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz.
İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır.
Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.
Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır.
Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır.
Basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır.
Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür.
Bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır.
İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır.
Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.
Görseldeki İntegrali Anlamak
Görselde, “edebi” bir örnek üzerinden integral anlatılmaktadır. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.
Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen “yaşam”, integral işleminin sonucudur. Yani tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır.
Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim:
“Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.”
Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir.
Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır.
Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk.
Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz.
Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.
İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda “zaman”) başlangıcı yazılır: doğum.
Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm.
İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır.
Bu durumda, “zaman başına düşen mutluluk” hesaplanmaktadır.
Dolayısıyla “mutluluğun zamana bölümü” yazılmıştır.
İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!
Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken;
integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır.
Bu örnekteki temel nokta, “mutluluk” değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir.
Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi.
Ki bu, gerçek sorunlarla karşılaşan bilim insanlarının yaptığı ilk şeydir. Sonrasında, integrali tespit ederler ve sayısız çözüm yönteminden uygun olan birini kullanarak çözerler.